To the happy few: A Gamma function identity

Oggi ho scoperto una formula matematica davvero sorprendente, immagino che a gran parte di voi non interesserà minimamente, ma chissà, magari qualcuno riuscirà ad apprezzarne in tutta la sua bellezza.

L'unico prerequisito è la conoscenza della funzione Gamma, Γ(s), che più o meno tutti i matematici dovrebbero aver visto e credo che anche fisici, ingegneri (che per fare i fighi la chiamano funzione Gamma completa) ed altri la usino spesso. In Teoria dei Numeri analitica, poi, la funzione Gamma compare in continuazione, per cui posso dire che è una mia fedele compagna di vita.

Sui numeri complessi di parte reale positiva la funzione Gamma si può definire come
$$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\,dt$$ e la sua proprietà più importante è che estende il fattoriale, in altre parole, sugli interi postivi vale
$$\Gamma(n+1) = n!.$$ Come detto, la definizione che ho dato sopra vale solo per i complessi con parte reale positiva, ma non è difficile provare che si può estendere a tutto il piano complesso (con poli negli interi non negativi).

Bene, ora che sapete tutto quello che serve, eccovi la formula:
$$\sum_{m=0}^\infty\frac{\Gamma(s+m)}{\Gamma(m+1)}=0,$$ valida per s di parte reale negativa. Insomma la funzione sulla sinistra non è altro che un modo complicato per scrivere 0. Un'identità così semplice (ma non banale) e valida indipendetemente da s è davvero qualcosa di magico.

Questa formula è un caso particolare della più nota formula di Gauss riguardante le funzioni ipergeometriche
$$\;_2F_1 (a,b;c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},$$ valida per Re(c-a-b)>0. Applicandola ad a=s, e b=c=1, si trova
$$\;_1F_0 (a;1)=0$$ (dato che Γ ha un polo in 0, per i profani "Γ(0)=∞", e che i b e c ai lati del primo punto e virgola si cancellano), e questa è equivalente alla formula enunciata sopra. Sebbene la formula di Gauss sia abbastanza conosciuta (io me n'ero imbattuto più o meno un anno fa, e da allora mi è più volte tornata utile), questa sua facile ma sorprendente conseguenza non si trova facilmente in giro e, con mia grossa sorpresa, nemmeno Brian l'aveva mai incrociata.

Avrete ormai capito quanto quest'identità mi avesse sorpreso e, quindi non vi stupirà il fatto che abbia perso parecchio tempo a cercare conferme della veridicità della stessa. Quella definitiva l'ho avuta dal magnifico sito che è Wolfram Alpha (gli happy few che sono arrivati fino a qua ne prendano nota, perché è davvero utile), che mi suggerisce (cercate "sum from n=0 to k of Gamma(s+n)/Gamma(n+1)") l'uguaglianza
$$\sum_{m=0}^k\frac{\Gamma(s+m)}{\Gamma(m+1)} = \frac{\Gamma(k+s+1)}{s \Gamma(k+1)},$$ la quale, facendo tendere k all'infinito, ci ridà (per Re(s)<0) l'identità che cercavamo.