mercoledì 30 maggio 2012

Un'applicazione inaspettata

Credo di non sorprendere molti dei lettori dicendo che la serie armonica è divergente, ossia, in simboli, $$\sum_{n\geq1} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \cdots=+\infty.$$ Ora, se prendiamo una sottosuccessione (anche finita) $(a_n)$ dei numeri naturali (ad esempio i quadrati, i numeri pari, i numeri minori di 1000, i primi, ecc.) possiamo chiederci se
$$\sum_{n\geq1} \frac{1}{a_n}$$ converge o meno. Se converge possiamo concludere che $(a_n)$ è un sottoinsieme abbastanza raro dei naturali, se diverge invece non sono così infrequenti. (N.B. Qua e in seguito la discussione non è del tutto rigorosa e non vuole esserlo).
Ad esempio, se prendiamo i numeri quadrati la serie converge? Non è difficile mostrare che
$$\sum_{n\geq1} \frac{1}{n^2}$$ converge (a $\frac{pi^2}6$ per la precisione) e quindi possiamo dire che i numeri naturali che sono quadrati sono abbastanza pochi.
E i numeri pari? Beh, questo è facile:
$$\sum_{n\geq1} \frac{1}{2n}=\frac12\sum_{n\geq1} \frac{1}{n}=+\infty,$$ quindi di numeri pari ce ne sono parecchi!
Anche per i numeri minori di 1000 la risposta è molto facile:
$$\sum_{n\leq1000} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots+\frac1{1000}$$ è una somma di un numero finito di termini quindi sicuramente converge.
La risposta per i numeri primi è meno banale, anche se comunque non difficile e si può dimostrare che
$$\sum_{p\text{ primo}} \frac{1}{p}=+\infty,$$ da cui deduciamo che i primi sono molti e, visto che la serie dei quadrati invece converge, che ci sono più numeri primi che quadrati! Possiamo anche notare che la divergenza della serie implica che ci sono infiniti numeri primi. Ci sono ovviamente modi più semplici per dimostrare questo fatto (ad esempio la dimostrazione di Euclide), ma questa dimostrazione è comunque importante perché può essere generalizzata, anche se in modo non banale, per mostrare che ci sono infiniti primi in ogni progressione aritmetica ammissibile (ad esempio ci sono infiniti numeri primi che divisi per 7 danno resto 3, mentre la dimostrazione di Euclide può essere abbastanza facilmente adattata solo alle progressioni aritmetiche di ragione 3, 4 e 6).

La morale del discorso è che possiamo usare questo tipo di approccio per cercare di dimostrare che ci sono infiniti numeri di un dato tipo. Ad esempio, per dimostrare che ci sono infiniti numeri primi gemelli (ossia due numeri primi la cui differenza è 2, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, ecc.) possiamo cercare di dimostrare che la somma
$$\sum_{\substack{p,\ p+2\\\text{entrambi primi}}} \frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots$$diverge (nota: è facile mostrare che il 5 è l'unico numero che si ripete più di una volta). Sfortunatamente però questo metodo non può funzionare, in quanto Brun ha dimostrato che questa serie converge a una costante detta costante di Brun (e in particolare non ci sono così tanti primi gemelli) e la congettura dei primi gemelli, che predice che ci sono infiniti primi di questo tipo, non è stata ancora dimostrata.

Ok, posso ora svelarvi che fin'ora ho solo divagato per arrivare a raccontarvi un fatto molto curioso che ho scoperto solo oggi. I primi processori Intel Pentium avevano un piccolo bug (Pentium FDIV bug) all'algoritmo che calcolava le divisioni, il che causava in qualche rarissimo caso dei piccoli errori nei calcoli. Le imprecisioni si presentavano moo...olto raramente, ma ovviamente per alcuni utilizzi anche un minimo errore può causare dei grossissimi problemi. Questo problema risale a 18 anni fa e ora sembra quasi impossibile che i processori possano fare errori di calcolo, però evidentemente allora la situazione era ben diversa (o magari lo è ancora, solo che non lo sappiamo)! Venendo al punto, sapete da chi è stato scoperto questo bug? Da un matematico, Thomas Nicely, che stava portando avanti un programma per calcolare le prime cifre della costante di Brun! E poi dicono che la teoria dei numeri è inutile!

martedì 29 maggio 2012

L'enigma di Newton

Succede spessissimo che i vari giornali italiani (e non solo) pubblichino tutti le stesse cazzate riprendendosi tra di loro e senza minimamente controllare le informazioni. Un paio di giorni fa è uscita un'altra di quesste storie che ha fatto rapidissimamente il giro del mondo: uno studente sedicenne avrebbe risolto l'enigma matematico di Newton. La notizia mi pare sia stata inizialmente pubblicata dal Daily Mail (giornale inglese abbastanza noto per la poca affidabilità) e poi rilanciata tale e quale senza controlli o approfondimenti da una valanga di altri giornali di molti paesi, gli italiani Repubblica e il Corriere compresi. La cosa fastidiosa è che nessuno di questi giornali (sicuramente non gli italiani, e pare neanche gli altri) si è preso la briga di chiarire cosa esattamente avrebbe dimostrato questo ragazzo né hanno chiesto un parere a un esperto, tutti hanno pubblicato le stesse notizie vaghissime senza farsi nessuna domanda. Capisco che giornali quali il Daily Mail debbano vivere di queste cose e quindi le  pubblichino senza approfondire, ma il Corriere e Repubblica vorrebbero essere giornali seri e trovo veramente vergognoso che non si facciano nessun problema a pubblicare in continuazione articoli così poco professionali.

 Anche su Wikipedia in inglese qualcuno ha prontamente scritto una voce su questo piccolo genio (con sempre le stesse informazioni), ma la pagina è stata subito proposta per la cancellazione e presumibilmente entro una settimana dovrebbero farla fuori (qua la discussione).

UPDATE: Segnalo questo interessante articolo che finalmente chiede le opinioni di qualche esperto (tra cui Sir Michael Berry) con risposte prevedibili..

UPDATE BIS: Segnalo questo post che spiega in modo abbastanza chiaro in cosa probabilmente consiste il problema risolto. Chi ha qualche ricordo di fisica matematica concorderà con l'autore nel dire che il problema "somiglia più ad un esercizio del corso di Meccanica Razionale". Segnalo poi anche quest'altro interessante post in cui vengono riportate le parole del supervisore di Ray, il quale ridimensiona pesantemente la portata del lavoro.

domenica 13 maggio 2012

So long

E alla fine arriva anche il momento in cui i tuoi idoli di bambino si ritirano...


martedì 1 maggio 2012

Programmi estivi

Dal 17 giugno al 24 giugno sono a Lethbridge per la conferenza CNTA XII.

 Dal 24 giugno al 2 luglio a Snowbird per il programma in Arithmetic Statistics.

 Dal 2 luglio all'8 luglio... boh!? Ho un volo che mi porta a San Francisco il 2, poi non so bene che farò.

Dall'8 luglio al 14 luglio a Palo Alto vado a visitare Brian all'American Institute of Mathematics.

Il 15 sono di ritorno a Bristol (via Londra). Verso fine luglio (ancora non so esattamente quando) ho il viva. È possibile che torni a Padova per una veloce visita appena dopo il ritorno dal viaggio americano, mentre è sicuro che ci torni in agosto (anche se dovrò lasciarmi un po' di tempo per fare le correzioni alla tesi). Il viaggio in Canada non è ancora certo, ma sarà probabilmente verso il 20-25 agosto (probabilmente ripassando prima per Bristol).