Un'applicazione inaspettata

Credo di non sorprendere molti dei lettori dicendo che la serie armonica è divergente, ossia, in simboli, $$\sum_{n\geq1} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \cdots=+\infty.$$ Ora, se prendiamo una sottosuccessione (anche finita) $(a_n)$ dei numeri naturali (ad esempio i quadrati, i numeri pari, i numeri minori di 1000, i primi, ecc.) possiamo chiederci se
$$\sum_{n\geq1} \frac{1}{a_n}$$ converge o meno. Se converge possiamo concludere che $(a_n)$ è un sottoinsieme abbastanza raro dei naturali, se diverge invece non sono così infrequenti. (N.B. Qua e in seguito la discussione non è del tutto rigorosa e non vuole esserlo).
Ad esempio, se prendiamo i numeri quadrati la serie converge? Non è difficile mostrare che
$$\sum_{n\geq1} \frac{1}{n^2}$$ converge (a $\frac{pi^2}6$ per la precisione) e quindi possiamo dire che i numeri naturali che sono quadrati sono abbastanza pochi.
E i numeri pari? Beh, questo è facile:
$$\sum_{n\geq1} \frac{1}{2n}=\frac12\sum_{n\geq1} \frac{1}{n}=+\infty,$$ quindi di numeri pari ce ne sono parecchi!
Anche per i numeri minori di 1000 la risposta è molto facile:
$$\sum_{n\leq1000} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots+\frac1{1000}$$ è una somma di un numero finito di termini quindi sicuramente converge.
La risposta per i numeri primi è meno banale, anche se comunque non difficile e si può dimostrare che
$$\sum_{p\text{ primo}} \frac{1}{p}=+\infty,$$ da cui deduciamo che i primi sono molti e, visto che la serie dei quadrati invece converge, che ci sono più numeri primi che quadrati! Possiamo anche notare che la divergenza della serie implica che ci sono infiniti numeri primi. Ci sono ovviamente modi più semplici per dimostrare questo fatto (ad esempio la dimostrazione di Euclide), ma questa dimostrazione è comunque importante perché può essere generalizzata, anche se in modo non banale, per mostrare che ci sono infiniti primi in ogni progressione aritmetica ammissibile (ad esempio ci sono infiniti numeri primi che divisi per 7 danno resto 3, mentre la dimostrazione di Euclide può essere abbastanza facilmente adattata solo alle progressioni aritmetiche di ragione 3, 4 e 6).

La morale del discorso è che possiamo usare questo tipo di approccio per cercare di dimostrare che ci sono infiniti numeri di un dato tipo. Ad esempio, per dimostrare che ci sono infiniti numeri primi gemelli (ossia due numeri primi la cui differenza è 2, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, ecc.) possiamo cercare di dimostrare che la somma
$$\sum_{\substack{p,\ p+2\\\text{entrambi primi}}} \frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots$$diverge (nota: è facile mostrare che il 5 è l'unico numero che si ripete più di una volta). Sfortunatamente però questo metodo non può funzionare, in quanto Brun ha dimostrato che questa serie converge a una costante detta costante di Brun (e in particolare non ci sono così tanti primi gemelli) e la congettura dei primi gemelli, che predice che ci sono infiniti primi di questo tipo, non è stata ancora dimostrata.

Ok, posso ora svelarvi che fin'ora ho solo divagato per arrivare a raccontarvi un fatto molto curioso che ho scoperto solo oggi. I primi processori Intel Pentium avevano un piccolo bug (Pentium FDIV bug) all'algoritmo che calcolava le divisioni, il che causava in qualche rarissimo caso dei piccoli errori nei calcoli. Le imprecisioni si presentavano moo...olto raramente, ma ovviamente per alcuni utilizzi anche un minimo errore può causare dei grossissimi problemi. Questo problema risale a 18 anni fa e ora sembra quasi impossibile che i processori possano fare errori di calcolo, però evidentemente allora la situazione era ben diversa (o magari lo è ancora, solo che non lo sappiamo)! Venendo al punto, sapete da chi è stato scoperto questo bug? Da un matematico, Thomas Nicely, che stava portando avanti un programma per calcolare le prime cifre della costante di Brun! E poi dicono che la teoria dei numeri è inutile!