In attesa

In ottobre, durante la mia visita a Princeton, Brian, il mio realtore, mi ha assegnato un nuovo problema su cui lavorare. Devo provare una formula pubblicata nel 2000 da Iwaniec e Sarnak in un articolo non contenente dimostrazioni e, giusto perché questa è da vari mesi parte delle mie giornate ve la faccio conoscere. Eccola:

$$\begin{split}
\frac{12}{k-1}&\sum_{f\in H_k(m)(1)}\omega_f\lambda(m)L^2\left(\frac12,f\right)=\\
=&2(1+i^k)\frac{\tau(m)}{\sqrt{m}}\Big(\sum_{0<\ell<\frac k2}\ell^{-1}-\log(2\pi\sqrt m)\Big)+\\ &-\frac{2\pi i^k}{\sqrt m}\sum_{h\neq m}\tau(h)\tau(h-m)p_k\left(\frac hm\right)+\\ &+\frac{2\pi i^k}{\sqrt m}\sum_{h>0}\tau(h)\tau(h+m)q_k\left(\frac hm\right).
\end{split}
$$ Non sto a dirvi cosa significhino i vari termini, anche perché ci metterei un sacco a spiegarlo a un matematico, figurarsi agli altri.
Nonostante discreti sforzi, finora non sono riuscito a trovare una dimostrazione e l'unico vero progesso è stato trovare una riscrittura del termine a sinistra dell'uguaglianza che ha la stessa struttura di quello adestra. In questo momento sono rinchiuso in ufficio a testare numericamente alcuni pezzi della mia scomposizione, finora (dopo un paio di giorni di programmazione e varie ore in attesa che il computer eseguisse i calcoli) sono riuscito a calcolare che il pezzo che secondo le mie predizioni corrisponde all'ultima riga della formula per k=8 e m=2 è circa 0.0384. Se tutto va bene, calcolando direttamente quella riga dovrei ottenere aprrossimamente lo stesso valore, se invece ottengo qualcosa di diverso... beh, vuol dire che ho buttato qualche mese a cercare nella direzione sbagliata. Incrociamo le dita!